题目：如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，等腰Rt△BDE中，BD=DE，E在BC上，D在BC下方，P为EC的中点。证明：PA⊥PD。
解题思路（1）：延长DE交AC于F，交AP于G（图2）。
易证四边形ABDF为矩形，AF=BD=DE；Rt△EFC为等腰Rt△，PE=PF=PC。
易证△EDP≌△FAP，则∠EDP=∠FAP，DP=AP。
在Rt△AFG和△DPG中，∠EDP=∠FAP，∠DGP=∠AGF，
故∠DPG=∠AFG=90°，即PA⊥PD且PA=PD。
解题思路（2）：延长DP至点F，使DP=PF（类似于倍长中线），连接FC、AD、AF（图3）。
易证△DEP≌△FCP，则CF=DE=DB，∠DEP=∠FCP=135°，∠ACF=90°。
易证Rt△ABD≌Rt△AFC，则AD=AF，
故△APD≌△APF，∠APD=∠APF=90°，PA⊥PD得证。
解题思路（3）：连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到Rt△ACF，连接PF（图3）。具体证明类似解题思路（2）。
解题思路（4）：欲证PA⊥PD，证明A、B、D、P四点共圆即可。
过点E作EF⊥AB，垂足为F（图4），则四边形EFBD为正方形；连接FD、AD，∠AFD=∠PED=135°。
设AB=AC=x，BC=√2x；
BF=DE=y，FD=BE=√2y，EP=（√2x-√2y）/2；
FA=x-y。
在△AFD和△PED中，FD/AF=（√2y）/（x-y）；
DE/EP=y/{（√2x-√2y）/2}=（√2y）/（x-y），
结合∠AFD=∠PED，故△AFD∽△PED，
则∠FAD=∠EPD，故A、B、D、P四点共圆，
∠APD=180°-∠ABD=180°-90°=90°，
PA⊥PD成立。另外，∠DAP=∠DBP=45°，故Rt△APD亦为等腰Rt△，PA=PD。
解题思路（5）：过点E作EF⊥AB，垂足为F（图5），则四边形EFBD为正方形。
连接FP，易证△PFB≌△PDB，则PF=PD，∠DPB=∠FPB=α。
过点P作PH⊥AB，垂足为H。
在梯形AFEC中，PH∥EF∥CA，因P为EC的中点，根据“经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，则H为FA的中点，故PH为FA的垂直平分线，
PA=PF=PD，∠APH=∠FPH=θ。
因∠HPB=α+θ=45°，故∠APD=2（α+θ）=90°。
解题思路（6）：作AH⊥BC，DG⊥BE，垂足分别为H、G（图6）。
设GB=GE=GD=m，PE=PC=n，BC=2（m+n），
则HB=HC=HA=1/2BC=m+n，
HC=HP+PC=HP+n=m+n，即HP=m。
在Rt△DGP和Rt△PHA中，HP=GD=m，AH=PG=m+n，
则Rt△DGP≌Rt△PHA，∠GPD=∠HAP，∠GDP=∠HPA，
故∠APD=∠HPA+∠GPD=∠HPA+∠HAP=90°，PA⊥PD成立。
解题思路（7）：如图6所示，AB=BC/√2=2（m+n）/√2=√2（m+n），BD=√2m。
易证AB²+BD²=AP²+PD²，根据勾股定理的逆定理，则∠APD=90°得证。
解题思路（8）：补全等腰Rt△ABC、等腰Rt△BDE得到正方形ABFC，连接PF，作PH⊥BF（图7）。
易证△BAP≌△BFP，则PA=PF，∠BAP=∠BFP=α。
易证四边形EDFC为等腰梯形，PH为梯形的中位线，
故H为DF的中点，即PH为DF的垂直平分线，故
PD=PF=PA，∠PDF=∠PFD=∠BAP=α。
在四边形ABDP中，∠BDP+∠BAP=∠BDP+∠PDF=180°，则∠APD=360°-∠ABD-∠BDP-∠BAP
=360°-90°-180°=90°。
解题思路（9）：补全等腰Rt△ABC、等腰Rt△BDE得到正方形ABHC（图8），过点P作平行于AB、AC的直线分别交正方形边长于G、L、K、N；过点E作EF⊥AC交KN于M。
在等腰Rt△EFC中，MP、PG均为中位线，易证矩形AKPG和矩形MDLP的两边长分别相等，其对角线AP、PD相等且垂直。
